Question

【題目】定義：若對定義域內任意x，都有（a為正常數），則稱函數為“a距”增函數．

（1）若，(0，)，試判斷是否為“1距”增函數，并說明理由；

（2）若，R是“a距”增函數，求a的取值范圍；

（3）若，(﹣1，)，其中kR，且為“2距”增函數，求的最小值．

Answer 1

【答案】（1）見解析； （2）； （3）.

【解析】

（1）利用“1距”增函數的定義證明即可；（2）由“a距”增函數的定義得到在上恒成立，求出a的取值范圍即可；（3）由為“2距”增函數可得到在恒成立，從而得到恒成立，分類討論可得到的取值范圍，再由，可討論出的最小值。

（1）任意,,

因為,, 所以，所以，即是“1距”增函數。

（2）.

因為是“距”增函數，所以恒成立，

因為,所以在上恒成立，

所以，解得，因為,所以.

（3）因為，，且為“2距”增函數，

所以時，恒成立，

即時，恒成立，

所以，

當時，，即恒成立，

所以, 得;

當時，，

得恒成立，

所以,得,

綜上所述，得.

又，

因為,所以，

當時，若，取最小值為；

當時，若，取最小值.

因為在R上是單調遞增函數，

所以當，的最小值為；當時的最小值為，

即 .