Question

【題目】已知函數.

（1）當時，求證：；

（2）當時，若不等式恒成立，求實數的取值范圍；

（3）若，證明.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）證明見解析.

【解析】分析：（1）先利用導數求函數，再證明. （2）把不等式恒成立轉化為≥0，再利用導數求即得a的取值范圍. (3)利用第（2）問的結論和分析法證明.

詳解：（1）當時，，，

當時，；當時，

故在上單調遞減，在上單調遞增，

，.

（2），令，則.

①當時，在上，，單調遞增，，即，在上為增函數，

，當時滿足條件.

②當時，令，解得，在上，，單調遞減，

當時，有，即 在上為減函數，，不合題意.

綜上，實數的取值范圍為.

（3）由（2）得，當，時，，即=，

欲證不等式，

只需證明，

只需證明，

只需證 ，

設，則.

當時，恒成立，且， 恒成立.

原不等式得證.