Question

【題目】如圖，在四棱錐中，平面平面，在中，，為的中點，四邊形是等腰梯形，，．

（Ⅰ）求異面直線與所成角的正弦值；

（Ⅱ）求證：平面平面；

（Ⅲ）求直線與平面所成角的正切值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）證明見解析；（Ⅲ）．

【解析】

（Ⅰ）因為//，則即為所求，解三角形即可容易求得；

（Ⅱ）先證平面，即可求線面垂直推證面面垂直；

（Ⅲ）由（Ⅱ）中所證，即可知即為所求，再解三角形即可求得結果.

（Ⅰ）因為四邊形是等腰梯形，故可得//，

故即為所求夾角或其補角，

在中，因為，且為底邊中點，

故可得，又因為，

故可得，

則.

故異面直線與所成角的正弦值為.

（Ⅱ）因為平面平面，且交線為，

又因為平面，則平面，

又因為平面，故可得；

又在四邊形中：過作，垂足為，

因為，

故容易得，

則

滿足，則；

又因為平面，且，

故可得平面，又因為平面，

故平面平面，即證.

（Ⅲ）由（Ⅱ）可得平面，

則即為所求線面角.

在中，因為，

故可得.

故直線與平面所成角的正切值為.