Question

【題目】如圖，三棱柱中，側面為菱形，．

（1）證明：；

（2）若，，，求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）證明見詳解；（2）.

【解析】

（1）連接，交于點，連接，證明且平分得到答案.

（2）為坐標原點，的方向為軸正方向，為單位長，建立空間直角坐標，計算相應點坐標，計算法向量，利用二面角公式計算得到答案.

證明：（1）連接，交于點，連接，

因為側面為菱形，

所以，

且為與的中點，

又，,

所以平面.

由于平面，

故.

又，

故.

（2）因為，且為的中點，

所以，

又因為，

所以，

故，

從而兩兩相互垂直，為坐標原點，的方向為軸正方向，為單位長，建立空間直角坐標，

因為，

所以為等邊三角形，

設，

則，

，

設是平面的法向量，則

，

即，

所以.

設是平面的法向量，

則，

同理可取，

，

所以二面角的余弦值為-.