Question

已知橢圓的右焦點(diǎn)為F，A為短軸的一個(gè)端點(diǎn)，且，的面積為1（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)）.
（1）求橢圓的方程；
（2）若C、D分別是橢圓長(zhǎng)軸的左、右端點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M滿(mǎn)足，連結(jié)CM，交橢圓于點(diǎn)，證明：為定值；
（3）在（2）的條件下，試問(wèn)軸上是否存在異于點(diǎn)C的定點(diǎn)Q，使得以MP為直徑的圓恒過(guò)直線DP、MQ的交點(diǎn)，若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.

Answer 1

(1).（2）見(jiàn)解析；(3)存在，使得以為直徑的圓恒過(guò)直線、的交點(diǎn).

解析試題分析：(1)由已知:,可得,,可得橢圓方程為.
（2）由（1）知，設(shè).根據(jù)知.
由消去,整理得:,
應(yīng)用韋達(dá)定理得
利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算即得(定值).
(3)以為直徑的圓恒過(guò)的交點(diǎn),
由，建立Q坐標(biāo)的方程.
試題解析：(1)由已知:,,,
所以橢圓方程為.          4分
（2）由（1）知，.
由題意可設(shè).

由消去,整理得:,

.,

(定值).    9分
(3)設(shè).
若以為直徑的圓恒過(guò)的交點(diǎn),
則.
由(2)可知:,
,
即恒成立,
∴存在，使得以為直徑的圓恒過(guò)直線、的交點(diǎn).          13分
考點(diǎn)：橢圓的幾何性質(zhì)，直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算.