Question

【題目】平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓:的離心率為，且過(guò)點(diǎn)．

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)橢圓，為橢圓上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，射線交橢圓于點(diǎn)Q．

（i）若為橢圓上任意一點(diǎn)，求的值；

（ii）若點(diǎn)坐標(biāo)為，求面積的最大值．

Answer 1

【答案】（1）．（2）（i）2（ii）．

【解析】

（1）根據(jù)和，可得到，代入點(diǎn)到橢圓的方程，解出和的值即可得解；

（2）（i）先由（1）中的結(jié)論得出橢圓E的方程，設(shè)點(diǎn)，寫出射線的方程，再將其代入橢圓的方程可得到點(diǎn)的坐標(biāo)，然后利用兩點(diǎn)間距離公式分別求出，并作比即可得解；

（ii）利用點(diǎn)到直線的距離公式可得到點(diǎn)到直線的距離，聯(lián)立直線的方程與橢圓的方程，消去得到關(guān)于的一元二次方程，然后利用弦長(zhǎng)公式求出，即可表示出的面積，再結(jié)合換元法和對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)即可求得面積的最大值．

（1）由題意可知，，

∵，∴，

又橢圓過(guò)點(diǎn)，∴，解得，∴，

∴橢圓C的方程為．

（2）（i）由（1）可知，橢圓E的方程為，設(shè)點(diǎn)，

∴射線的方程為，代入可得點(diǎn)，

∴．

（ii）∵，∴過(guò)點(diǎn)P的直線為，

∵點(diǎn)Q到直線AB的距離等于原點(diǎn)O到直線AB距離的3倍，

∴，

聯(lián)立，得，

∴弦長(zhǎng)，

∴面積，

令，則，

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．

故面積的最大值為．