Question

（2013•寧波模擬）已知函數f（x）=x³+ax²-a²x+2，a∈R．
（1）若a＜0時，試求函數y=f（x）的單調遞減區間；
（2）若a=0，且曲線y=f（x）在點A、B（A、B不重合）處切線的交點位于直線x=2上，證明：A、B 兩點的橫坐標之和小于4；
（3）如果對于一切x₁、x₂、x₃∈[0，1]，總存在以f（x₁）、f（x₂）、f（x₃）為三邊長的三角形，試求正實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求導函數，令f'（x）＜0，結合a＜0，可得函數單調遞減區間；
（2）設在點A（x₁，x₁³+2）、B（x₂，x₂³+2）處切線的交點位于直線x=2上一點P（2，t），求出切線方程，代入點P的坐標，兩方程相減，借助于基本不等式，即可證得A、B 兩點的橫坐標之和小于4；
（3）先確定0＜a＜2，再求導函數，確定函數的單調性與最小值，進而可確定正實數a的取值范圍．

解答：（1）解：f'（x）=3x²+2ax-a²=3（x+a）（x-

a

3

）
 令f'（x）＜0，∵a＜0，∴

a

3

＜x＜-a
∴函數單調遞減區間[

a

3

，-a]；
（2）證明：當a=0時，f（x）=x³+2
設在點A（x₁，x₁³+2）、B（x₂，x₂³+2）處切線的交點位于直線x=2上一點P（2，t），
∵y′=3x²，∴在點A處的切線斜率為k=3x12
∴在A處的切線方程為y-（x₁³+2）=3x12（（x-x₁）
∵切線過點P，∴t-（x₁³+2）=3x12（（2-x₁）
∴2x13-6x12+(t-2)=0①
同理2x23-6x22+(t-2)=0②
①-②可得2(x13-x23)-6(x12-x22)=0
∵x₁≠x₂，∴(x1+x2)2-x1x2-3(x1+x2)=0
∵x₁≠x₂，∴x1x2＜(

x1+x2

2

)2
∴(x1+x2)2-(

x1+x2

2

)2-3(x1+x2)＜0
∴0＜x₁+x₂＜4
∴A、B 兩點的橫坐標之和小于4；
（3）解：由題設知，f（0）＜f（1）+f（1），即2＜2（-a²+a+3），∴-1＜a＜2
∵a＞0，∴0＜a＜2
∵f′(x)=3(x+a)(x-

a

3

)
∴x∈(0，

a

3

)時，f′（x）＜0，f（x）單調遞減；當x∈(

a

3

，1)時，f′（x）＞0，f（x）單調遞增
∴當x=

a

3

時，f（x）有最小值f（

a

3

）=-

5

27

a3+2
∴f（

a

3

）=-

5

27

a3+2＞0①，f（0）＜2（-

5

27

a3+2）②，f（1）＜2（-

5

27

a3+2）③，
由①得a＜

3 3 2

3 5

；由②得a＜

3

3 5

，∵0＜a＜2，∴0＜a＜

3

3 5

不等式③化為

10

27

a3-a2+a-1＜0
令g（a）=

10

27

a3-a2+a-1，則g′（a）=

10

9

a2-2a+1＞0，∴g（a）為增函數
∵g（2）=-

1

27

＜0，∴當0＜a＜

3

3 5

時，g（a）＜0恒成立，即③成立
∴正實數a的取值范圍為(0，

3

3 5

)．

點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的單調性，考查導數的幾何意義，考查存在性問題的研究，正確求導是關鍵．