Question

（2013•寧波模擬）如圖，橢圓C1：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率為

2

2

，x軸被曲線C2：y=x2-b截得的線段長等于C₁的短軸長．C₂與y軸的交點為M，過坐標原點O的直線l與C₂相交于點A、B，直線MA，MB分別與C₁相交于點D、E．
（1）求C₁、C₂的方程；
（2）求證：MA⊥MB．
（3）記△MAB，△MDE的面積分別為S₁、S₂，若

S1

S2

=λ，求λ的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據拋物線C₂被x軸截得弦長，建立關于b的等式，解出b=1；再由橢圓離心率為

2

2

，建立a、c的關系式，算出a²=2，由此即可得到橢圓C₁和拋物線C₂的方程；
（2）設A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），且直線AB方程為y=kx，與拋物線方程水運y，得x²-kx-1=0．利用根與系數的關系，結合向量的坐標運算，化簡得

MA

•

MB

=0，從而得到MA⊥MB；
（3）設直線MA方程為y=k₁x-1，直線MB方程為y=k₂x-1，且滿足k₁k₂=-1．由直線MA方程與拋物線C₂方程聯解，得到點A的坐標為(k1，k12-1)，同理可得B(k2，k22-1)，從而得到S1=

1

2

|MA||MB|=

1

2

1+ k 2 1

1+ k 2 2

．然后用類似的方法得到S2=

1

2

|MD||ME|=

1

2

1+ k 2 1

1+ k 2 2

16

(1+2 k 2 1 )(1+2 k 2 2 )

，從而得到

S1

S2

關于k₁、k₂的表達式，化成關于k₁的表達式再用基本不等式即可求出

S1

S2

≥

9

16

，由此即可得到λ的取值范圍．

解答：解：（1）橢圓C₁的離心率e=

c

a

=

2

2

，∴a²=2b²（1分）
又∵x軸被曲線C2：y=x2-b截得的線段長等于C₁的短軸長．
∴2

b

=2b，得b=1，a²=2，可得橢圓C₁的方程為

x2

2

+y2=1
而拋物線C₂的方程為y=x²-1；（3分）
（2）設直線AB方程為y=kx，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則由

y=kx y=x2-1

消去y，得x²-kx-1=0（4分）
∴x₁+x₂=k，x₁x₂=-1，可得y₁+y₂=k（x₁+x₂）=k²，y₁y₂=kx₁•kx₂=k²x₁x₂=-k²
∵M坐標為（0，-1），可得

MA

=(x1，y1+1)，

MB

=(x2，y2+1)
∴

MA

•

MB

=x1x2+(y1+1)(y2+1)=x₁x₂+y₁y₂+y₁+y₂+1=-1-k²+k²+1=0
因此，

MA

⊥

MB

，即MA⊥MB（7分）
（3）設直線MA方程為y=k₁x-1，直線MB方程為y=k₂x-1，且滿足k₁k₂=-1
∴

y=k1x-1 y=x2-1

，解得

x=0 y=-1

或

x=k1 y=k12-1

∴A(k1，k12-1)，同理可得B(k2，k22-1)
因此，S1=

1

2

|MA||MB|=

1

2

1+ k 2 1

1+ k 2 2

|k1||k2|=

1

2

1+ k 2 1

1+ k 2 2

（10分）
再由

y=k1x-1 x2 2 +y2=1

，解得

x=0 y=-1

或

x= 4k1 1+2 k 2 1 y= 2k12-1 1+2 k 2 1

∴D(

4k1

1+2 k 2 1

，

2k12-1

1+2 k 2 1

)，
同理可得E(

4k2

1+2 k 2 2

，

2k22-1

1+2 k 2 2

)
∴S2=

1

2

|MD||ME|=

1

2

1+ k 2 1

1+ k 2 2

|16k1k2|

(1+2 k 2 1 )(1+2 k 2 2 )

=

1

2

1+ k 2 1

1+ k 2 2

16

(1+2 k 2 1 )(1+2 k 2 2 )

（13分）

S1

S2

=

(1+2 k 2 1 )(1+2 k 2 2 )

16

=

5+2( 1 k 2 1 + k 2 1 )

16

≥

9

16

，即λ=

S1

S2

的取值范圍為[

9

16

，+∞）（15分）

點評：本題給出橢圓與拋物線滿足的條件，求它們的方程并依此討論直線截曲線形成三角形的面積之比的取值范圍，著重考查了橢圓、拋物線的標準方程與簡單幾何性質，直線與圓錐曲線的位置關系等知識點，屬于中檔題．