Question

如圖13,已知AB為半圓O的直徑,AP為過點A的半圓的切線,在上任取一點C(點C與A、B不重合),過點C作半圓的切線CD交AP于點D;過點C作CE⊥AB,垂足為E,連結BD,交CE于點F.

         

(1)　　                   (2)

圖13

(1)當點C為的中點時(如圖13(1)),求證:CF =EF;

(2)當點C不是的中點時(如圖13(2)),試判斷CF與EF的相等關系是否保持不變,并證明你的結論.

Answer 1

思路分析:第(1)題E與O重合,只需證明四邊形DAEC為矩形,CD∥AB即可.?

(2)由(1)的結論猜測CF =EF仍然成立.然后再設法證明.

證明:(1)∵DA是切線,AB為直徑,∴DA⊥AB.?

∵點C是的中點,且CE⊥AB,?

∴CE過圓心.∴點E為半圓的圓心.?

又∵DC是切線,∴DC⊥EC.?

∴四邊形DAEC為矩形.?

∴CE∥AD且CE =AD.?

∴= =,即 =,?

∴F為EC的中點,即CF =EF.?

(2)CF =EF仍然成立.證明如下:?

連結BC并延長交AP于G點,連結AC.?

∵AD、CD是半圓的切線,?

∴DC=DA.∴∠DAC=∠DCA.?

∵AB為直徑,?

∴∠ACB =90°,∠ACG =90°,∠G+∠DAC =∠DCA +∠DCG =90°.?

∴∠G = ∠DCG.?

在△GDC中,GD =DC,又∵DC =DA,∴GD =DA.?

∵AP是半圓O的切線,?

∴AP⊥AB.又CE⊥AB,∴CE∥AP.?

∴= =.?

又GD =AD,∴CF =EF.