Question

（2011•崇明縣二模）如圖，已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），M為橢圓上的一個動點，F₁、F₂分別為橢圓的左、右焦點，A、B分別為橢圓的一個長軸端點與短軸的端點．當MF₂⊥F₁F₂時，原點O到直線MF₁的距離為

1

3

|OF₁|．
（1）求a，b滿足的關系式；
（2）過F₂作與直線AB垂直的直線，交橢圓于P、Q兩點，當三角形PQF₁面積為20

3

時，求此時橢圓的方程；
（3）當點M在橢圓上變化時，求證：∠F₁MF₂的最大值為

π

2

．

Answer 1

分析：（1）利用MF₂⊥F₁F₂，可求點M坐標，利用原點O到直線MF₁的距離為

1

3

|OF₁|，可得幾何量之間的關系，從而可求a，b滿足的關系式；
（2）假設直線l方程與橢圓方程聯立，進而可表示出三角形PQF₁面積，利用條件可求；
（3）在△F₁MF₂中，利用余弦定理表示出∠F₁MF₂，利用基本不等式即可求解．

解答：解：（1）設F₁（-c，0），F₂（c，0），A（a，0），B（0，b）
因為MF₂⊥F₁F₂，所以點M坐標為M(c，

b2

a

)
所以MF₁方程b²x-2acy+b²c=0
O到MF₁距離d= 

b2c

b4+4a2c2

=

1

3

c，整理得2b⁴=a²c²
所以

a2=b2+c2 2b4=a2c2

，解得a=

2

b
（2）設直線l方程為y=

2

(x-b)，直線與橢圓交于P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），F₁到直線PQ的距離為h
解聯立方程

y= 2 (x-b) x2+2y2=2b2

得5x²-8bx+2b²=0，PQ=

6 2

5

b，h=

2 6 b

3

所以S△PQF1=

4

5

3

b2=20

3

所以b²=25，a²=50
∴橢圓方程為

x2

50

+

y2

25

=1
（3）設MF₁=m，MF₂=n，m+n=2a
由余弦定理得cos∠F1MF2=

m2+n2-4c2

2mn

=

2b2

mn

-1
因為0＜mn≤

(m+n)2

4

=2b2，
所以cos∠F₁MF₂≥0
當且僅當m=n=a=

2

b，cos∠F1MF2=0
由三角形內角及余弦單調性知有最大值∠F1MF2=

π

2

點評：本題的考點是直線與圓錐曲線的位置關系，主要考查直線與橢圓的位置關系，關鍵是聯立方程組，轉化為一元二次方程，利用韋達定理解決弦長問題，同時考查了基本不等式的運用．