Question

【題目】已知F1（﹣c，0）、F2（c，0）分別是橢圓G： 的左、右焦點，點M是橢圓上一點，且MF2⊥F1F2 ， |MF1|﹣|MF2|= a．
（1）求橢圓G的方程；
（2）若斜率為1的直線l與橢圓G交于A、B兩點，以AB為底作等腰三角形，頂點為P（﹣3，2），求△PAB的面積．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵|MF1|﹣|MF2|= a，|MF1|+|MF2|=2a，

∴|MF1|= ，|MF2|= ，

∵MF2⊥F1F2，∴ ．

即 ，則 ，

∵c2=a2﹣4，∴a2=12，

∴橢圓

（2）解：設直線l的方程為y=x+m．

由 ，得4x2+6mx+3m2﹣12=0．①

設A、B的坐標分別為（x1，y1）、（x2，y2）（x1＜x2），AB的中點為E（x0，y0），

則 ， ．

∵AB是等腰△PAB的底邊，∴PE⊥AB．

∴PE的斜率 ，解得m=2．

此時方程①為4x2+12x=0，解得x1=﹣3，x2=0，∴y1=﹣1，y2=2，

∴|AB|=3 ．

此時，點P（﹣3，2）到直線AB：x﹣y+2=0的距離d= ，

∴△PAB的面積S=

【解析】（1）本題關鍵是由MF2⊥F1F2得到|MF1|2=|MF2|2+|F1F2|2；（2）設出直線l的方程，借助一元二次方程根與系數的關系表示出PE的斜率，再結合PE⊥AB求得直線l的方程，即可求得三角形PAB的面積.
【考點精析】認真審題，首先需要了解橢圓的標準方程(橢圓標準方程焦點在x軸：，焦點在y軸：)．