Question

已知函數(shù)f（x）=（sinx+cosx）²-2sin²x
（1）求f（x）的最小正周期：
（2）函數(shù)y=g（x）的圖象是由y=f（x）的圖象向左平移

π

24

個(gè)單位長(zhǎng)度，再將圖象上點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍得到的，若角A為三角形的最小內(nèi)角，求g（A）的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用三角函數(shù)的恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)f（x）的解析式為

2

sin（2x-

π

4

），由此求得函數(shù)的最小正周期．
（2）把y=f（x）的圖象經(jīng)過(guò)兩次變換后得到所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為g（x）=

2

sin（x-

π

3

），故g（A）=

2

sin（A-

π

3

），再根據(jù)0＜A≤

π

3

，求出g（A）的取值范圍．

解答：解：（1）∵f（x）=（sinx+cosx）²-2sin²x=1+sin2x-2×

1-cos2x

2

=1+sin2x-1-cos2x
=sin2x-cos2x=

2

sin（2x-

π

4

），
故函數(shù)的最小正周期為

2π

2

=π．
（2）把y=f（x）的圖象向左平移

π

24

個(gè)單位長(zhǎng)度所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為y=

2

sin[2（x-

π

24

）-

π

4

]
=

2

sin（2x-

π

3

），
再將圖象上點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍得到函數(shù)y=

2

sin（x-

π

3

） 的圖象，
故由題意可得g（x）=

2

sin（x-

π

3

），故g（A）=

2

sin（A-

π

3

）．
若角A為三角形的最小內(nèi)角，則有0＜A≤

π

3

，∴-

π

3

＜A-

π

3

≤0，-

3

2

＜sin（A-

π

3

）≤0，
故-

6

2

＜

2

sin（A-

π

3

）≤0，
故g（A）的取值范圍為（-

6

2

，0]．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換及化簡(jiǎn)求值，三角函數(shù)的周期性與求法，函數(shù)y=Asin（ωx+∅）的圖象變換，屬于中檔題．