Question

（2012•金華模擬）已知拋物線x²=y，O為坐標原點．
（Ⅰ）過點O作兩相互垂直的弦OM，ON，設M的橫坐標為m，用n表示△OMN的面積，并求△OMN面積的最小值；
（Ⅱ）過拋物線上一點A（3，9）引圓x²+（y-2）²=1的兩條切線AB，AC，分別交拋物線于點B，C，連接BC，求直線BC的斜率．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由OM⊥ON，確定M，N的坐標，表示出|OM|=

m2+m4

，|ON|=

m2+1 m4

，從而可得△OMN的面積，利用基本不等式可求△OMN面積的最小值；
（Ⅱ）設B（x3，x32），C（x4，x42），直線AB的方程為y-9=k₁（x-3），AC的方程為y-9=k₂（x-3），利用直線AB\AC與圓x²+（y-2）²=1相切，建立方程，從而可得以k₁，k₂ 是方程4k²-21k+24=0的兩根，再聯立方程組，利用韋達定理，可得直線BC的斜率，化簡可得結論．

解答：解：（Ⅰ）設M（x1，x12），N（x2，x22）．
由OM⊥ON得x1x2+x12x22=0，∴x₁x₂=-1．
因為x₁=m，所以x2=-

1

m

．
所以|OM|=

m2+m4

，|ON|=

m2+1 m4

．
所以n=S△OMN=

1

2

|OM||ON|=

1

2

×

m2+m4

×

m2+1 m4

=

1

2

2+m2+ 1 m2

=1．
所以，當m=1時，△OMN面積取得最小值1．
（Ⅱ）設B（x3，x32），C（x4，x42），直線AB的方程為y-9=k₁（x-3），AC的方程為y-9=k₂（x-3），
因為直線AB，AC與圓x²+（y-2）²=1相切，
所以

|3k1-7|

1+k12

=

|3k2-7|

1+k22

=1．
所以4k12-21k1+24=0，4k22-21k2+24=0．
所以k₁，k₂ 是方程4k²-21k+24=0的兩根．
所以k1+k2=

21

4

．
由方程組

y=x2 y-9=k1(x-3)

得x²-k₁x-9+3k₁=0．
所以x₃+3=k₁，同理可得：x₄+3=k₂．
所以直線BC的斜率為

x42-x32

x4-x3

=x₄+x₃=k₁+k₂-6=-

3

4

．

點評：本題考查三角形面積的計算，考查基本不等式的運用，考查直線與圓，直線與拋物線的位置關系，考查韋達定理的運用，屬于中檔題．