Question

某工廠生產一種儀器的元件，由于受生產能力和技術水平等因素的限制，會產生一些次品，根據經驗知道，次品數P（萬件）與日產量x（萬件）之間滿足關系：P=

x2 6 ，(1≤x＜4) x+ 3 x - 25 12 ，(x≥4)

已知每生產l萬件合格的元件可以盈利2萬元，但每生產l萬件次品將虧損1萬元．（利潤=盈利一虧損）
（1）試將該工廠每天生產這種元件所獲得的利潤T（萬元）表示為日產量x（萬件）的函數；
（2）當工廠將這種儀器的元件的日產量x定為多少時獲得的利潤最大，最大利潤為多少？

Answer 1

分析：（1）由已知中次數數P（萬件）與日產量x（萬件）之間的關系式，可求出合格的元件數，進而根據每生產l萬件合格的元件可以盈利2萬元，但每生產l萬件次品將虧損1萬元，得到利潤T（萬元）用日產量x（萬件）的函數解析式．
（2）由（1）中結論，結合二次函數的圖象和性質，可以求出日產量x定為多少時獲得的利潤最大，及最大利潤值

解答：解：（1）當1≤x＜4時，合格的元件數為x-

x2

6

，…（1分）
利潤T=2(x-

x2

6

)-

x2

6

=2x-

x2

2

；                           …（3分）
當x≥4時，合格的元件數為x-(x+

3

x

-

25

12

)=-

3

x

+

25

12

，…（4分）
利潤T=2(-

3

x

+

25

12

)-(x+

3

x

-

25

12

)=-x-

9

x

+

25

4

，…（6分）
綜上，該工廠每天生產這種元件所獲得的利潤T=

2x- x2 2 ，1≤x＜4 -x- 9 x + 25 4 ，x≥4

…（7分）
（2）當1≤x＜4時，T=2x-

x2

2

，對稱軸x=2，此時利潤T的最大值T_max=T（2）=2．…（9分）
當x≥4時，T′=-1+

9

x2

=

9-x2

x2

=

(3+x)(3-x)

x2

＜0，…（10分）
所以T=-x-

9

x

+

25

4

在[4，+∞）上是減函數，…（11分）
此時利潤T的最大值T_max=T（4）=0，…（12分）
綜上所述，當x=2時，T取最大值2，…（13分）
即當日產量定為2（萬件）時，工廠可獲得最大利潤2萬元．…（14分）

點評：本題考查的知識點是根據實際問題選擇函數類型，熟練掌握二次函數的圖象和性質是解答的關鍵．