Question

已知橢圓：的左、右焦點和短軸的兩個端點構成邊長為2的正方形．

（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）過點的直線與橢圓相交于，兩點．點，記直線的斜率分別為，當最大時，求直線的方程．

Answer 1

（Ⅰ）橢圓的方程為；（Ⅱ）直線的方程為．

試題分析：（Ⅰ）由已知，橢圓：的左、右焦點和短軸的兩個端點構成邊長為2的正方形，所以，利用，可得，又橢圓的焦點在軸上，從而得橢圓的方程；（Ⅱ）需分直線的斜率是否為0討論．①當直線的斜率為0時，則；②當直線的斜率不為0時，設，，直線的方程為，將代入，整理得．利用韋達定理列出．結合，，列出關于的函數，應用均值不等式求其最值，從而得的值，最后求出直線的方程．
試題解析：（Ⅰ）由已知得（2分），又，∴橢圓方程為（4分）
（Ⅱ）①當直線的斜率為0時，則；       6分
②當直線的斜率不為0時，設，，直線的方程為，
將代入，整理得．
則，．      8分
又，，
所以，=
 10分．
令，則
所以當且僅當，即時，取等號． 由①②得，直線的方程為．13分．