Question

對于二項式（1-x）¹⁹⁹⁹，有下列四個命題：
①展開式中T₁₀₀₀=-C₁₉₉₉¹⁰⁰⁰x⁹⁹⁹；  
 ②展開式中非常數項系數和是1；
③展開式中系數最大的項是第1000項和第1001項；
④當x=2000時，（1-x）¹⁹⁹⁹除以2000的余數是1．其中正確命題的序號是    ．

Answer 1

【答案】分析：利用二項式項的公式T_r+1=C_n^ra^n-rb^r，及二項式系數的性質對四個命題逐一判斷，判斷出正確命題．
解答：解：對于二項式（1-x）¹⁹⁹⁹，二項式項的公式T_r+1=C_n^r1^n-r（-1）^r，
對于命題①，T₁₀₀₀=C₁₉₉₉⁹⁹⁹1¹⁰⁰⁰（-x）⁹⁹⁹，=-C₁₉₉₉⁹⁹⁹x⁹⁹⁹，故此命題不正確；
對于命題②展開式中非常數項系數和是-1，故命題不正確；
對于命題③展開式中系數最大的項是第1000項和第1001項不正確，因為相鄰二項一正一負，故不可能同時是系數最大項；
對于命題當x=2000時，（1-x）¹⁹⁹⁹除以2000的余數是1是正確的，因為展開式中不含有2000的項是1，故當x=2000時，（1-x）¹⁹⁹⁹除以2000的余數是1是正確的．
故答案為：④．
點評：本題考查二項式系數的性質，解題的關鍵是熟練掌握二項式系數的性質以及二項式展開式的項的公式，由這些知識對四個命題進行判斷，本題考查了運用知識進行推理論證的能力．