Question

對于二項式（1-x）¹⁰．求：
（1）展開式的中間項是第幾項？寫出這一項；
（2）求展開式中除常數項外，其余各項的系數和；
（3）寫出展開式中系數最大的項．

Answer 1

分析：（1）由題意可知：r=0，1，2…11，展開式共11項，所以 中間項為第6項，利用二項展開式的通項公式求出第6項即可；
（2）設（1-x）¹⁰=a₀+a₁x+…a₁₀x¹⁰通過賦值法即可求得所求的其余各項的系數和a₁+…a₁₀=-1，
（3）展開式中中間項T₆的系數為負，從而得出展開式中系數最大的項T₅和T₇，利用二項展開式的通項公式求出第5，7項即可．

解答：解：（1）由題意可知：r=0，1，2…11，展開式共11項，
所以 中間項為第6項：T₆=C₁₀⁵（-x）⁵=-252x⁵…（4分）
（2）設（1-x）¹⁰=a₀+a₁x+…a₁₀x¹⁰
令x=1得：a₀+a₁+…a₁₀=0；
令x=0得：a₀=1；
所求的其余各項的系數和a₁+…a₁₀=-1，
（3）展開式中中間項T₆的系數為負，
∴展開式中系數最大的項T₅和T₇，
T₅=C₁₀⁴x⁴=210x⁴=T₇．

點評：本題考查利用二項展開式的通項公式解決二項展開式的特定項問題、考查二項式定理展開式共n+1項，二項展開式的通項公式是解決二項展開式的特定項問題的工具．