Question

（本小題共12分）
已知函數的圖象過點，且在內單調遞減，在上單調遞增。
（1）求的解析式；
（2）若對于任意的，不等式恒成立，試問這樣的是否存在.若存在，請求出的范圍，若不存在，說明理由；

Answer 1

（1）f(x)= x³+x²－2x+即為所求.  --------------5分
(2)存在m且m∈[0,1]附合題意

試題分析：（1）∵，--------1分
由題設可知：即sinθ≥1， ∴sinθ=1.------3分
從而a= ,∴f(x)= x³+x²－2x+c,而又由f(1)= 得c=.∴f(x)= x³+x²－2x+即為所求.  --------------5分
(2)由=（x+2）（x－1），
易知f(x)在(－∞,－2)及(1,+∞)上均為增函數，在(－2,1)上為減函數.
①當m＞1時，f(x)在[m,m+3]上遞增,故f(x)_max=f(m+3), f(x)_min=f(m)
由f(m+3)－f(m)=  (m+3)³+ (m+3)²－2(m+3)－m³－m²+2m=3m²+12m+≤，
得－5≤m≤1.這與條件矛盾. ------------8分
② 當0≤m≤1時，f(x)在[m,1]上遞減, 在[1,m+3]上遞增
∴f(x)_min=f(1), f(x)_max=max{ f(m),f(m+3) },
又f(m+3)－f(m)= 3m²+12m+=3(m+2)²－＞0(0≤m≤1)
∴f(x)_max= f(m+3)∴|f(x₁)－f(x₂)|≤f(x)_max－f(x)_min= f(m+3)－f(1)≤f(4)－f(1)= 恒成立.
故當0≤m≤1時，原不等式恒成立.----------------11分
綜上，存在m且m∈[0,1]附合題意---------------12分
點評：導數本身是個解決問題的工具，是高考必考內容之一，高考往往結合函數甚至是實際問題考查導數的應用，求單調、最值、完成證明等，請注意歸納常規方法和常見注意點．