Question

【題目】對整點25邊形的頂點作三染色．求證：存在一個三頂點同色的三角形，它的重心也是整點．

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

對25個頂點作三染色，必有9個頂點同色，不妨設同為紅色．

下面證明：必存在一個三頂點均為紅色的，其重心也是整點．

（1）若的橫（縱）坐標中有五個模3同余，不妨設．

此時，由于中必有三個數其和能被3整除，

設．

則的重心也是整點．

同理，若縱坐標中有五個模3同余，結論同樣成立．

（2）若的橫坐標中任意五個模3不同余，且縱坐標中任意五個也模3不同余，則被3除時，余數取遍0，1，2．

同理，被3除時，余數也取遍0，1，2．

從而，中至少有兩種余數出現3次，不妨設

，

．

此時，若或有一個成立，則命題已真．

否則，對模3恰有兩個余數（記為，且）．

同理，對模3也恰有兩個余數（或為或為，或為）．也就是說對模3的余數只有兩種可能：

（i）包括全部；

（ii）只包括，但每一個重復2~4次．

此時，取，使．

于是，存在，使，

且，其中之一成立

從而，的重心也是整點．