Question

【題目】設各項均為正數的數列的前n項和為，滿足，且，公比大于1的等比數列滿足， .

（1）求證數列是等差數列，并求其通項公式；

（2）若，求數列的前n項和；

（3）在（2）的條件下，若對一切正整數n恒成立，求實數t的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析， ；(2) ；(3) .

【解析】試題分析：

(1)結合函數的遞推公式可證得數列是首先為1，公差為2的等差數列，其通項公式為；

(2)錯位相減可得數列的前n項和為；

(3)由題意可得數列單調遞減，據此得到關于實數t的不等式，求解不等式可得實數t的取值范圍是.

試題解析：

(1) 當時，，，

，所以，.

因為當時，是公差的等差數列，

，，

則是首項，公差的等差數列，

所以數列的通項公式為.

(2)由題意得， ；

則前n項和；

；

相減可得

；

化簡可得前n項和；

（3）對一切正整數n恒成立，

由，

可得數列單調遞減,即有最大值為，

則 解得或 .

即實數t的取值范圍為.