Question

【題目】已知橢圓 ， 是坐標原點， 分別為其左右焦點， , 是橢圓上一點， 的最大值為

（Ⅰ）求橢圓的方程;

（Ⅱ）若直線與橢圓交于兩點，且

（i）求證： 為定值;

（ii）求面積的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析

【解析】試題分析：（1）由橢圓對稱性可得M為短軸端點B時取最大值，因此根據直角三角形可得，（2）（i）解幾中證明題一般方法為以算代證，先由直線方程與橢圓方程聯立，解出坐標（用直線斜率表示），代入可得定值，最后驗證斜率不存在的情況也滿足（ii）因為，所以面積為,再將（i）坐標（用直線斜率表示）代入，得關于直線斜率的一元函數關系，利用基本不等式求最值，確定函數取值范圍.

試題解析：（1）由題意得，得橢圓方程為：

（2）

i)當斜率都存在且不為0時，設，

由消得，

同理得，

故

當斜率一個為0，一個不存在時，得

綜上得，得證。

ii) 當斜率都存在且不為0時，

又

所以

當斜率一個為0，一個不存在時,

綜上得