Question

已知圓x²+y²+x-6y+m=0與直線x+2y-3=0相交于P、Q兩點，O為原點，且OP⊥OQ，求實數m的值．

Answer 1

分析：先將直線與圓的方程聯立，得到5y²-20y+12+m=0，再由韋達定理分別求得y1•y2=

12+m

5

，又因為OP⊥OQ，轉化為x₁•x₂+y₁•y₂=0求解．

解答：解：設P、Q的坐標分別為（x₁，y₁）、（x₂，y₂），
由OP⊥OQ可得：

OP

⊥

OQ

，即

OP

•

OQ

=0，
所以x₁•x₂+y₁•y₂=0．
由x+2y-3=0得x=3-2y代入x²+y²+x-6y+m=0
化簡得：5y²-20y+12+m=0，
所以y₁+y₂=4，y₁•y₂=

12+m

5

．
所以x₁•x₂+y₁•y₂=（3-2y₁）•（3-2y₂）+y₁•y₂=9-6（y₁+y₂）+5y₁•y₂
=9-6×4+5×

12+m

5

=m-3=0
解得：m=3．

點評：本題主要考查直線與圓的位置關系其其方程的應用，應用了韋達定理，體現了數形結合的思想，是常考題型，屬中檔題．