Question

已知圓x²+y²+x-6y+m=0和直線x+2y-3=0交于P，Q兩點，且

CP

•

CQ

=0（ C為圓心）．則該圓的半徑為

 

，m的值為

 

．

Answer 1

分析：把圓的方程化為標準方程，找出圓心C的坐標，表示出圓C的半徑r，然后由點到直線的距離公式求出圓心到已知直線的距離d，由

CP

•

CQ

=0得到CP⊥CQ，即三角形CPQ為等腰直角三角形，根據余弦函數定義得到d=CPcos45°，求出CP的長，即為圓C的半徑，然后用求出的圓的半徑等于表示出的半徑r，列出關于m的方程，求出方程的解得到m的值．

解答：解：把圓x²+y²+x-6y+m=0化為標準方程得：（x+

1

2

）²+（y-3）²=

37-4m

4

，
∴圓心C(-

1

2

，3)，半徑r=

1

2

37-4m

，
則圓心C(-

1

2

，3)圓心到直線x+2y-3=0的距離d=

|- 1 2 +6-3|

5

=

5

2

．
又∵

CP

•

CQ

=0，
∴CP⊥CQ，又CP=CQ，
∴△CPQ為等腰直角三角形，
∴CP=

2

d=

10

2

，即圓C的半徑為

10

2

，
由r=

1

2

37-4m

=

10

2

，解得：m=

27

4

．
故答案為：

10

2

；

27

4

點評：此題考查了直線與圓相交的性質，點到直線的距離公式，以及平面向量的數量積的運算，由平面向量的數量積為0得到兩向量互相垂直是解本題的突破點，同時要求學生會將圓的一般式方程化為標準方程，會從圓的標準方程中找出圓心坐標和圓的半徑．