Question

【題目】如圖，四棱錐P﹣ABCD的底面為矩形，PA是四棱錐的高，PB與DC所成角為45°，F是PB的中點，E是BC上的動點．
（Ⅰ）證明：PE⊥AF；
（Ⅱ）若BC=2BE=2 AB，求直線AP與平面PDE所成角的大小．．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ） 建立如圖所示空間直角坐標系．設AP=AB=2，BE=a則A（0，0，0），B（0，2，0），P（0，0，2），F（0，1，1），E（a，2，0）
于是， ， ，
則 ，
所以AF⊥PE．
（Ⅱ）若 ，則 ， ，
=（2 ，2，﹣2），
設平面PDE的法向量為 =（x，y，z），
由 ，得： ，令x=1，則 ，
于是 ，而
設直線AP與平面PDE所成角為θ，
則sinθ= = ．
∴直線AP與平面PDE所成角為60°．

【解析】（Ⅰ）建立空間直角坐標系，求出各點的坐標，以及向量PE，AF的坐標，得到其數量積為0即可證明結論．（Ⅱ）先根據條件求出D的坐標以及 ， 的坐標，進而求出平面PDE的法向量的坐標，再代入向量的夾角計算公式即可得到答案．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用向量語言表述線線的垂直、平行關系和用空間向量求直線間的夾角、距離的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握設直線的方向向量分別是，則要證明∥，只需證明∥，即;則要證明，只需證明，即；已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點，所成的角為，則．