Question

在計算“

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

n(n+1)

（n∈N^﹡）”時，某同學學到了如下一種方法：
先改寫第k項：

1

k(k+1)

=

1

k

-

1

k+1

，
由此得

1

1×2

=

1

1

-

1

2

，

1

2×3

=

1

2

-

1

3

，

1

4

，

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
相加，得

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

n(n+1)

=1-

1

n+1

=

n

n+1

類比上述方法，請你計算“

1

1×2×3

+

1

2×3×4

+…+

1

n(n+1)(n+2)

（n∈N^﹡）”，其結果為

 

．

Answer 1

分析：本題考查的知識點是類比推理，是要根據

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

n(n+1)

=1-

1

n+1

=

n

n+1

，類比猜想計算“

1

1×2×3

+

1

2×3×4

+…+

1

n(n+1)(n+2)

（n∈N^﹡）”的公式，其處理的方法是由

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

n(n+1)

=1-

1

n+1

=

n

n+1

的推導公式，類比分解

1

n(n+1)(n+2)

采用消項法即可得到答案．

解答：解：∵

1

n(n+1)(n+2)

=

1

2

[

1

n(n+1)

-

1

(n+1)(n+2)

]，
∴

1

1×2×3

+

1

2×3×4

+…+

1

n(n+1)(n+2)

=

1

2

(

1

1×2

-

1

2×3

)+

1

2

(

1

2×3

-

1

3×4

)+…+

1

2

[

1

n(n+1)

-

1

(n+1)(n+2)

]
=

1

2

[

1

1×2

-

1

2×3

+

1

2×3

-

1

3×4

+…+

1

n(n+1)

-

1

(n+1)(n+2)

]
=

n2+3n

4(n+1)(n+2)

故答案為：=

n2+3n

4(n+1)(n+2)

．

點評：類比推理的一般步驟是：（1）找出兩類事物之間的相似性或一致性；（2）用一類事物的性質去推測另一類事物的性質，得出一個明確的命題（猜想）．