Question

【題目】在平面直角坐標系中，已知橢圓的離心率為，點在橢圓上.

(1)求橢圓的方程；

(2)設直線與圓相切，與橢圓相交于兩點，求證：是定值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析

【解析】

（1）利用離心率可得，進而得到；將點代入橢圓方程可求得，從而得到橢圓方程；

（2）①當直線斜率不存在時，可求得坐標，從而得到，得到；②當直線斜率存在時，設直線方程為，由直線與圓相切可得到；將直線方程與橢圓方程聯立可得到韋達定理的形式，從而表示出，整理可得，得到；綜合兩種情況可得到結論.

（1）由題意得：，即 橢圓方程為

將代入橢圓方程得：

橢圓的方程為：

（2）①當直線斜率不存在時，方程為：或

當時，，，此時

當時，同理可得

②當直線斜率存在時，設方程為：，即

直線與圓相切 ，即

聯立得：

設， ，

代入整理可得：

綜上所述：為定值