【題目】已知橢圓
的左右焦點與其短軸得一個端點是正三角形的三個頂點，點
在橢圓
上，直線
與橢圓交于
兩點，與
軸， 
軸分別相交于點
合點
，且
，點
時點
關于
軸的對稱點， 
的延長線交橢圓于點
，過點
分別做
軸的垂線，垂足分別為
.
（1） 求橢圓
的方程；
（2）是否存在直線
，使得點
平分線段
？若存在，請求出直線
的方程；若不存在，請說明理由。
【答案】（1）
;（2）存在直線
的方程為
或
.
【解析】試題分析: (1)由正三角形的高與邊長的關系可求出
,再由點
在橢圓上,可求出
的值,從而求出橢圓方程; (2)假設存在,由直線方程可求出
點的坐標,由已知條件可求出
點的坐標,設
聯(lián)立直線與橢圓的方程,消去
,得到關于
的一元二次方程,由韋達定理可求出
的表達式以及直線
的斜率,聯(lián)立直線
與橢圓方程,可求出
的表達式,進而求出
的表達式, 由
平分線段
，求出
的值,得出直線方程.
試題解析:（1）由題意知
，即
， 
，即
,
∵
在橢圓上，∴
，
所以橢圓
方程為
.
（2）存在
設
，∵
∴
, 
∴
①
∴
， 
聯(lián)立
∴
②
∴
∴
∴
若
平分線段
，則
即
， 
， ∴
∵
把①，②代入，得
所以直線
的方程為
或
點睛:本題主要考查了橢圓的方程以及直線與橢圓的位置關系,屬于中檔題.第一問求橢圓方程很容易,大部分學生能做對; 在第二問中,假設存在, 當點
平分線段
, 
點為
的中點,利用中點坐標公式,求出
的值,得出直線方程.注意本題涉及的點線位置關系比較復雜,容易弄錯.
世紀百通期末金卷系列答案科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】為調(diào)查某地區(qū)老人是否需要志愿者提供幫助，用簡單隨機抽樣從該地區(qū)調(diào)查了500位老年人，結(jié)果如下：
性別 是否需要志愿者 | 男 | 女 |
需要 | 40 | 30 |
不需要 | 160 | 270 |
（Ⅰ）估計該地區(qū)老年人中，需要志愿者提供幫助的老年人比例；
（Ⅱ）能否有
的把握認為該地區(qū)的老年人是否需要志愿者提供幫助與性別有關？
（Ⅲ）根據(jù)（Ⅱ）中的結(jié)論，能否提供更好的調(diào)查方法來估計該地區(qū)老年人中需要志愿幫助？
附： 
| 0.050 | 0.010 | 0.001 |
| 3.841 | 6.635 | 10.828 |
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
， 
.
（Ⅰ）若
和
在
有相同的單調(diào)區(qū)間，求
的取值范圍；
（Ⅱ）令
（
），若
在定義域內(nèi)有兩個不同的極值點．
（i）求
的取值范圍；
（ii）設兩個極值點分別為
， 
，證明： 
．
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】已知
定義域為
，對任意
都有
，且當
時， 
.
(1)試判斷
的單調(diào)性，并證明；
(2)若
，
①求
的值；
②求實數(shù)
的取值范圍，使得方程
有負實數(shù)根.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
在區(qū)間
上有最大值4 和最小值1，設
.
（1）求
的值；
（2）若不等式
在區(qū)間
上有解，求實數(shù)
的取值范圍；
（3）若
有三個不同的實數(shù)解，求實數(shù)
的取值范圍.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
．
（Ⅰ）當
時，求函數(shù)
的極小值；
（Ⅱ）設定義在
上的函數(shù)
在點
處的切線方程為
：
，當
時，若
在內(nèi)恒成立，則稱
為函數(shù)
的“轉(zhuǎn)點”．當
時，試問函數(shù)是否存在“轉(zhuǎn)點”？若存在，求出轉(zhuǎn)點的橫坐標；若不存在，請說明理由．
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