Question

若不等式x²＋2xy≤a(x²＋y²)對于一切正數x，y恒成立，則實數a的最小值為________．

Answer 1

方法一：令y＝tx，則t>0，代入不等式得x²＋2tx²≤a(x²＋t²x²)，消掉x²得1＋2t≤a(1＋t²)，即at²－2t＋a－1≥0對t>0恒成立，顯然a>0，故只要Δ＝4－4a(a－1)≤0，即a²－a－1≥0，考慮到a>0，得a≥.
方法二：令y＝tx，則a≥，令m＝1＋2t>1，則t＝，
則a≥＝≤＝，
故a≥.