Question

【題目】定義在R上的奇函數f（x）滿足f（x+1）=f（﹣x），當x∈（0，1）時，f（x）= ， 則f（x）在區間（1，）內是（　　）
A.增函數且f（x）＞0
B.增函數且f（x）＜0
C.減函數且f（x）＞0
D.減函數且f（x）＜0

Answer 1

【答案】D
【解析】解：由f（x）為奇函數，f（x+1）=f（﹣x）得，f（x）=﹣f（x+1）=f（x+2）；
∴f（x）=f（x+2）；
∴f（x）是周期為2的周期函數；
根據條件，x
∴
∴；
設2﹣x=t，t ， x=2﹣t；
∴；
∴；
∴
可以看出x增大時，-x減小，增大，f（x）減小；
∴在區間（1，）內，f（x）是減函數；
而由
∴；
∴f（x）＜0．
故選：D．
根據條件可以判斷出f（x）是周期為2的周期函數，并且x從而可以得到f（x）=f（x﹣2）=﹣f（2﹣x）=可換元，令2﹣x=t，從而求出f（t）即得出x的解析式，從而可以判斷此時的f（x）的單調性及其符號．