Question

【題目】已知a+b=1，對a，b∈（0，+∞），+≥|2x﹣1|﹣|x+1|恒成立，
（Ⅰ）求+的最小值；
（Ⅱ）求x的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵a＞0，b＞0且a+b=1
∴+=(a+b)(+)=5+
當且僅當b=2a時等號成立，又a+b=1，即a=,b=時，等號成立，
故+的最小值為9．
（Ⅱ）因為對a，b∈（0，+∞），使+恒成立，
所以|2x﹣1|﹣|x+1|≤9，
當 x≤﹣1時，2﹣x≤9，∴﹣7≤x≤﹣1，
當 時，﹣3x≤9，∴，
當 時，x﹣2≤9，∴，∴﹣7≤x≤11．
【解析】（Ⅰ）利用“1”的代換，化簡+ ， 結合基本不等式求解表達式的最小值；
（Ⅱ）利用第一問的結果．通過絕對值不等式的解法，即可求x的取值范圍。