Question

已知點，是拋物線上相異兩點，且滿足．
（Ⅰ）若的中垂線經過點，求直線的方程；
（Ⅱ）若的中垂線交軸于點，求的面積的最大值及此時直線的方程．

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）.

試題分析：(Ⅰ) 利用導數分析單調性，進而求最值；(Ⅱ)利用不等式的放縮和數列的裂項求和
試題解析：（I）方法一
（I）當垂直于軸時，顯然不符合題意，
所以可設直線的方程為，代入方程得：

∴       得：                2分
∴直線的方程為 
∵中點的橫坐標為1，∴中點的坐標為                  4分       
∴的中垂線方程為             
∵的中垂線經過點，故，得                 6分
∴直線的方程為                                   7分
（Ⅱ）由（I）可知的中垂線方程為，∴點的坐標為     8分
因為直線的方程為
∴到直線的距離               10分
由 得，，

                     12分
∴,  設,則，
，，由，得 
在上遞增，在上遞減，當時，有最大值
得：時，    
直線方程為                                15分
(本題若運用基本不等式解決，也同樣給分)
法二：
（Ⅰ）當垂直于軸時，顯然不符合題意，
當不垂直于軸時，根據題意設的中點為，
則                                          2分
由、兩點得中垂線的斜率為，                            4分
由，得                                              6分
∴直線的方程為                                          7分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知直線的方程為                          8分
中垂線方程為，中垂線交軸于點
點到直線的距離為                         10分
由得：


     
當時，有最大值，此時直線方程為       15分