Question

已知f（x）=lnx+2-x，若x＞0，f（x）＜a²恒成立，則實數a的取值范圍是

（-∞，-1）∪（1，+∞）

．

Answer 1

分析：若x＞0，f（x）＜a²恒成立等價于：若x＞0，f（x）_max＜a²．利用導數確定函數的單調性，極值點，從而確定函數的最值，進而解不等式即可．

解答：解：由題意，若x＞0，f（x）＜a²恒成立等價于：若x＞0，f（x）_max＜a²．
f/(x)=

1

x

-1=

1-x

x

，當0＜x＜1時，f′（x）＞0，當x＞1時，f^′（x）＜0
∴x=1時，f（x）取得最大值1
∴1＜a²．
∴a＜-1或a＞1
故答案為：（-∞，-1）∪（1，+∞）

點評：本題的考點是函數恒成立問題，考查利用最值法解決恒成立問題，考查利用導數求函數的最值，其中x＞0，f（x）＜a²恒成立轉化為：若x＞0，f（x）_max＜a²是解題的關鍵．