Question

定義在（0，+∞）上的三個函數f（x）、g（x）、h（x），已知f（x）=lnx，g（x）=x²-af（x），h（x）=x-a

x

，且g（x）在x=1處取得極值．
（1）求a的值及h（x）的單調區間；
（2）求證：當1＜x＜e²時，恒有x＜

2+f(x)

2-f(x)

；
（3）把h（x）對應的曲線C₁向上平移6個單位后得到曲線C₂，求C₂與g（x）對應曲線C₃的交點的個數，并說明道理．

Answer 1

分析：（1）表示出函數g（x）后對其進行求導，將x=1代入導數g'（x）即可得到答案．
（2）欲證：x＜

2+f(x)

2-f(x)

．只需證：x[2-f（x）]＜2+f（x），即證：f（x）＞

2(x-1)

x+1

．
（3）表示出C₂的解析式，h₁（x），轉化為求h₁（x）與g（x）的交點個數即可．

解答：解：（1）由題意：g（x）=x²-af（x）=x²-alnx
g'（1）=2-a=0，∴a=2
而h（x）=x-2

x

，h'（x）=1-

1

x

，
令h'（x）=1-

1

x

＞0  得  x＞1，所以 h（x）在（1，+∞）上位增函數
令h'（x）=1-

1

x

＜0  得  0＜x＜1，h（x）在（0，1）上為減函數．
（2）∵1＜x＜e²∴0＜lnx＜2，∴2-lnx＞0，
欲證：x＜

2+f(x)

2-f(x)

．只需證：x[2-f（x）]＜2+f（x），即證：f（x）＞

2(x-1)

x+1

記k（x）=f（x）-

2(x-1)

x+1

=lnx-

2(x-1)

x+1

∴k'（x）=

(x-1)2

x(x+1)2

∴當x＞1時，k'（x）＞0∴k（x）在[1，+∞）上為增函數
∴k（x）＞k（1）=0，∴k（x）＞0
即lnx-

2(x-1)

x+1

＞0，∴lnx＞

2(x-1)

x+1

∴結論成立

（3）由（1）知：g（x）=x²-2lnx，h（x）=x-2

x

∴C₂對應表達式為h1(x)=x-2

x

+6
∴問題轉化為求函數g（x）=x²-2lnx與h1(x)=x-2

x

+6交點的個數
即方程：x2-2lnx=x-2

x

+6的根的個數
即：2

x

-2lnx=-x2+x+6
設h2 (x)=2

x

-2lnx，h₃（x）=-x²+x+6，

h

′ 2

(x)=

1

x

-

2

x

=

x ( x -2)

x x

=

x -2

x

∴當x∈（0，4）時，h₂′（x）＜0，h₂（x）為減函數
當x∈（4，+∞）時，h₂′（x）＞0，h₂（x）為增函數
而h₃（x）=-x²+x+6的圖象開口向下的拋物線
∴h₃（x）與h₂（x）的大致圖象如圖：
∴h₃（x）與h₂（x）的交點個數為2個，即C₂與C₃的交點個數為2個．

點評：本題主要考查通過求函數的導數來確定函數的增減區間的問題．這里要熟記各種函數的求導法則．