Question

【題目】已知圓上的動點，點Q在NP上，點G在MP上，且滿足.

（I）求點G的軌跡C的方程

（II）過點（2，0）作直線，與曲線C交于A、B兩點，O是坐標原點，設 是否存在這樣的直線，使四邊形OASB的對角線相等（即|OS|=|AB|）？若存在，求出直線的方程若不存在，試說明理由.

Answer 1

【答案】(1) ；(2)存在直線使得四邊形OASB的對角線相等.

【解析】本試題主要是考查了圓錐曲線的軌跡方程的求解，借助于向量的工具，來表示，同時能運用聯(lián)立方程組的思想表示出直線與圓錐曲線的交點問題的關(guān)系式，結(jié)合向量得到直線方程。

（1）根據(jù)局題中的向量的關(guān)系式，運用坐標法表示得到軌跡方程

（2）設直線方程與橢圓的方程聯(lián)立，然后結(jié)合題中的圖形的特點和向量的關(guān)系式，得到直線關(guān)系式，確定直線的存在與否。

解：（1）Q為PN的中點且GQ⊥PN

GQ為PN的中垂線|PG|=|GN|---------------------------------（3分）

∴|GN|+|GM|=|MP|=6，故G點的軌跡是以M、N為焦點的橢圓，其長半軸長，半焦距，∴短半軸長b=2，∴點G的軌跡方程是---------（6分）

（2）因為，所以四邊形OASB為平行四邊形，若存在l使得||=||，則四邊形OASB為矩形……………（7分）

若l的斜率不存在，直線l的方程為x=2，由

矛盾，……………（8分）

故l的斜率存在，設l的方程為

……………………（10分）

①………………………（11分）

② ………… ……………（12分）

把①、②代入∴存在直線使得四邊形OASB的對角線相等. ……… …………………… ……………（14分）