【題目】已知橢圓
的右焦點為F，過點
的直線l與E交于A，B兩點.當l過點F時，直線l的斜率為
，當l的斜率不存在時，
.
（1）求橢圓E的方程.
（2）以AB為直徑的圓是否過定點？若過定點，求出定點的坐標；若不過定點，請說明理由.
【答案】（1）
.（2）以AB為直徑的圓恒過定點
.
【解析】
（1）根據直線的斜率公式求得
的值，由
，即可求得
的值，求得橢圓方程；
（2）當直線的斜率存在，設直線
的方程，代入橢圓方程，利用韋達定理及以直徑的圓的方程，令
，即可求得
，即可判斷以為直徑的圓過定點
．
（1）設橢圓半焦距為c，由題意
，所以
.
l的斜率不存在時，
，所以
，
.
所以橢圓E的方程為.
（2）以AB為直徑的圓過定點
.
理由如下：
當直線
的斜率存在時，設的方程
，
，
，
，
，
聯立方程組
，消去
，
整理得
，
所以
，
，
所以
，
，
以為直徑的圓的方程：
，
即
，
令，則
，
解得或
，
所以為直徑的圓過定點．
當直線l的斜率不存在時，
，
，
此時以AB為直徑的圓的方程為
.
顯然過點．
綜上可知，以為直徑的圓過定點．
智慧小復習系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某超市為了解顧客的購物量及結算時間等信息，安排一名員工隨機收集了在該超市購物的100位顧客的相關數據，統計結果如下表所示，已知這100位顧客中一次購物量超過7件的顧客占
.
一次購物量 | 1至3件 | 4至7件 | 8至11件 | 12至15件 | 16件及以上 |
顧客數（人） |
| 27 | 20 |
| 10 |
結算時間（ | 0.5 | 1 | 1.5 | 2 | 2.5 |
（1）確定
，
的值，并求顧客一次購物的結算時間的平均值；
（2）從收集的結算時間不超過
的顧客中，按分層抽樣的方法抽取5人，再從這5人中隨機抽取2人，求至少有1人的結算時間為
的概率.（注：將頻率視為概率）
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】選修4-4：坐標系與參數方程:在直角坐標系
中，曲線
（
為參數），以坐標原點
為極點，以
軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線
的極坐標方程為
.
（1）求曲線
的極坐標方程；
（2）已知點
，直線
的極坐標方程為
，它與曲線的交點為，
，與曲線的交點為
，求
的面積.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標系
中，橢圓
的上頂點為A，左、右焦點分別為
，
，直線
的斜率為
，點
在橢圓E上，其中P是橢圓上一動點，Q點坐標為
.
(1)求橢圓E的標準方程；
(2)作直線l與x軸垂直，交橢圓于
兩點（兩點均不與P點重合)，直線
，
與x軸分別交于點
.求
的最小值及取得最小值時點P的坐標.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知拋物線
經過點
，過
作傾斜角互補的兩條不同直線
、
.
（1）求拋物線
的方程及準線方程；
（2）設直線、分別交拋物線于
、
兩點（均不與重合，如圖），記直線
的斜率為正數
，若以線段
為直徑的圓與拋物線的準線相切，求的值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
的左右焦點分別為
，
，該橢圓與
軸正半軸交于點
，且
是邊長為
的等邊三角形.
（1）求橢圓的標準方程；
（2）過點任作一直線交橢圓于
，
兩點，平面上有一動點
，設直線
，
，
的斜率分別為
，
，
，且滿足
，求動點的軌跡方程.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數
.
（Ⅰ）求函數
的極值點；
（Ⅱ）若直線
過點
，并且與曲線
相切，求直線的方程；
（Ⅲ）設函數
，其中
，求函數
在區間
上的最小值.（其中
為自然對數的底數）
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