Question

【題目】如圖，在多面體中，，四邊形和四邊形是兩個全等的等腰梯形.

（1）求證：四邊形為矩形；

（2）若平面平面，，，，求多面體的體積.

Answer 1

【答案】（1）見證明；（2）

【解析】

（1）根據全等的等腰梯形和已知條件得到且，由此證得四邊形為平行四邊形. 分別取，的中點，，連接，通過證明四點共面，且，且相交，由此證得平面，從而證得,由此證得四邊形為矩形.（2）連結，，作，垂足為，則.先證明平面，然后證明平面，由此求得點到平面的距離、點到平面的距離，分別求得和的體積，由此求得多面體的體積.

（1）證明：∵四邊形和四邊形是兩個全等的等腰梯形，

∴且，∴四邊形為平行四邊形.

分別取，的中點，.

∵，為的中點，∴，同理，∴.

∵為的中點，為的中點，∵，且.

∴，，，四點共面，且四邊形是以，為底的梯形.

∵，，且，是平面內的相交線，∴平面.

∵平面，∴，又，∴.

∴四邊形為矩形.

（2）解：連結，，作，垂足為，則.

∵，，∴.

在中，.

∵，平面，平面，∴平面.

∵平面平面，，平面平面，平面，

∴平面，∴點到平面的距離為2，同理，點到平面的距離為2，

則，；

，.

故多面體的體積為.