Question

【題目】在平面直角坐標系中，對于點、直線，我們稱為點到直線的方向距離.

（1）設雙曲線上的任意一點到直線，的方向距離分別為，求的值；

（2）設點、到直線的方向距離分別為，試問是否存在實數，對任意的都有成立？說明理由；

（3）已知直線和橢圓，設橢圓的兩個焦點到直線的方向距離分別為滿足，且直線與軸的交點為、與軸的交點為，試比較的長與的大小.

Answer 1

【答案】(1)；(2)，理由見詳解；(3)，證明見詳解.

【解析】

(1)根據定義表示出，然后結合點在雙曲線上計算出的值；

(2)假設存在滿足條件，計算出的值，令，即可求解出滿足條件的的值；

(3)根據新定義得到的結果，根據條件得到的范圍，將的范圍代入到中利用基本不等式即可比較出與的大小，即可比較出與的大小.

(1)由題設可知：設，所以，

所以，

又因為，所以；

(2) 假設存在實數滿足條件，因為，

，

所以，所以，所以，

故存在滿足條件；

(3)因為，所以，

所以，所以，

又因為，所以，

所以，取等號時，

所以，所以.