Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，A1A=AC=

2

AB，AB=BC=a，D為BB₁的中點．
（1）證明：平面ADC₁⊥平面ACC₁A₁；
（2）求平面ADC₁與平面ABC所成的二面角大小．

Answer 1

分析：（1）以B為坐標原點建立空間坐標系，分析求出向量

DE

，

AC1

，

CC1

的坐標，進而根據

DE

•

AC1

=0，

DE

•

CC1

=0，結合線面垂直的判定定理得到DE⊥面A₁ACC₁，再由面面垂直的判定定理即可得到平面ADC₁⊥面A₁ACC₁．
（2）求出平面ADC₁與平面ABC的法向量坐標，代入向量夾角公式，求出平面ADC₁與平面ABC所成的二面角的余弦值，進而可以求出平面ADC₁與平面ABC所成的二面角．

解答：解：由勾股定理知，AB⊥BC，則如圖所示建立直角坐標系，坐標分別為：
B（0，0，0），A（0，a，0），C（a，0，0），B₁（0，0，

2

a)，A1(0，a，

2

a）C₁（a，0，

2

a）
（1）∵D₁，E分別是BB₁，AC₁之中點．
∴D（0，0，

2

2

a)，E(

a

2

，

a

2

，

2

2

故

DE

=(

a

2

，

a

2

，0)，

CC1

=(0，0，

2

a)，

AC1

=(a，-a，

2

a）
∵

DE

•

AC1

=0，

DE

•

CC1

=0，
∴DE⊥面A₁ACC₁，∴平面ADC₁⊥面A₁ACC₁．…（6分）
（2）顯然平面ABC的法向量為

m

=（0，0，1），
設平面ADC₁的法向量

n

=(x1，y1，z1），且

AD

=(0，-a，

2

2

a)，

AC1

=(a，-a，

2

a）
令

AD • n =0 AC1 • n =0

⇒

n

=(-

2

2

，

2

2

，1），…（8分）
∴cos＜

m，

n

＞=

1

1 2 + 1 2 +1 •1

=

1

2

=

2

2

，
故兩平面的夾角為

π

4

…（12分）

點評：本題考查的知識點是用空間向量求平面間的夾角，平面與平面垂直的判定，其中建立空間坐標系，將空間線面關系判定及二面角問題轉化為向量夾角問題是解答本題的關鍵．