Question

某公司為一家制冷設備廠設計生產某種型號的長方形薄板，其周長為4m．這種薄板須沿其對角線折疊后使用．如圖所示，ABCD(AB＞AD)為長方形薄板，沿AC折疊后AB′交DC于點P.當△ADP的面積最大時最節能，凹多邊形ACB′PD的面積最大時制冷效果最好．

(1)設AB＝xm，用x表示圖中DP的長度，并寫出x的取值范圍；

(2)若要求最節能，應怎樣設計薄板的長和寬？

(3)若要求制冷效果最好，應怎樣設計薄板的長和寬？

 

Answer 1

（1）y＝2，1＜x＜2.（2）當薄板長為m，寬為(2－)m時，節能效果最好．（3）當薄板長為m，寬為(2－)m時，制冷效果最好．

【解析】(1)由題意，AB＝x，BC＝2－x.

因x＞2－x，故1＜x＜2.設DP＝y，則PC＝x－y.

因△ADP≌△CB′P，故PA＝PC＝x－y.

由PA2＝AD2＋DP2，得

(x－y)2＝(2－x)2＋y2?y＝2，1＜x＜2.

(2)記△ADP的面積為S1，則

S1＝ (2－x)＝3－≤3－2，

當且僅當x＝∈(1，2)時，S1取得最大值．

故當薄板長為m，寬為(2－)m時，節能效果最好．

(3)記多邊形ACB′PD的面積為S2，則

S2＝x(2－x)＋(2－x)＝3－，1＜x＜2.

于是S2′＝－＝0?x＝.

關于x的函數S2在(1，)上遞增，在(，2)上遞減．所以當x＝時，S2取得最大值．

故當薄板長為m，寬為(2－)m時，制冷效果最好