Question

【題目】已知f（x）=ax2﹣2lnx，x∈（0，e]，其中e是自然對數的底．
（1）若f（x）在x=1處取得極值，求a的值；
（2）求f（x）的單調區間．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）=ax2﹣2lnx，x∈（0，e]，

∴f′（x）=2ax﹣ = ，

當x=1時，f（x）取到極值，∴f′（1）=0，解得a=1；

當a=1時，f′（x）= 在（0，1）上小于0，∴f（x）是減函數，

f′（x）= 在（1，e]上大于0，∴f（x）是增函數，

∴f（1）是函數的極小值，此時a的值為1；

（2）解：∵f′（x）=2ax﹣ = ，x∈（0，e]，

當a≤0時，f′（x）＜0恒成立，∴f（x）在（0，e]上是減函數，∴（0，e]是單調減區間；

當a＞0時，令f′（x）=0，則 =0，∴ax2﹣1=0，解得x= ，

①若a＞ ，則f′（x）在（0， ）上小于0，f（x）是減函數，∴（0， ）是單調減區間；

f′（x）在（ ，e]上大于0，f（x）是增函數，∴（ ，e]是單調增區間；

②若a≤ ，則f′（x）在（0，e]上小于0，f（x）是減函數，∴（0，e]是單調減區間；

綜上，當a≤ 時，（0，e]是f（x）的單調減區間；

當a＞ 時，（0， ）是f（x）的單調減區間，（ ，e]是f（x）的單調增區間．

【解析】（1）當x=1時，f（x）取到極值，即f′（1）=0，從而求得a的值；（2）求出f′（x），其中x∈（0，e]，討論f′（x）在a＞0、a≤0時，是否大于0？小于0？從而確定f（x）的單調區間．
【考點精析】關于本題考查的利用導數研究函數的單調性和函數的極值與導數，需要了解一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值才能得出正確答案．