Question

已知數列是各項均不為0的等差數列，公差為，為其前n項和，且滿足,．數列滿足,， 為數列的前項和．
（1）求數列的通項公式；
（2）若對任意的，不等式恒成立，求實數的取值范圍；
（3）是否存在正整數，使得成等比數列？若存在，求出所有
的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

(1) ；（2）；（3）存在，，.

試題分析：（1）利用通項公式和求和公式展開解析式，解方程組，得出，，寫出解析式；（2）先用裂項相消法求出，再討論的奇數偶數兩種情況，利用恒成立解題；（3）先利用等比中項列出表達式，解出.
試題解析：（1）在中，令，
得  即               2分
解得，，∴                       3分
又∵時，滿足，∴  4分
（2）∵，    5分
∴．    6分
①當為偶數時，要使不等式恒成立，即需不等式恒成立．     7分
∵，等號在時取得．
此時 需滿足.                        8分
②當為奇數時，要使不等式恒成立，即需不等式恒成立．
∴是隨的增大而增大， ∴時取得最小值．
此時需滿足．                  9分
∴綜合①、②可得的取值范圍是．  10分
（3），，，
若成等比數列，則，         11分
即．
由，可得，      12分
即，
∴．                              13分
又，且，所以，此時．
因此，當且僅當，時，數列中的成等比數列．  14分