Question

已知橢圓的離心率為，且經(jīng)過點．
(Ⅰ)求橢圓的方程；
(Ⅱ)如果過點的直線與橢圓交于兩點（點與點不重合），
①求的值；
②當(dāng)為等腰直角三角形時，求直線的方程．

Answer 1

(Ⅰ)橢圓的方程為；(Ⅱ) ①；②直線的方程為或或．

解析試題分析：(Ⅰ)由與離心率為，可求出方程；(Ⅱ) ①要求的值，可設(shè)直線的方程，采用設(shè)而不求的方法求得；②由①知：，如果為等腰直角三角形，設(shè)的中點為，則，利用可求出的值，從而求出直線的方程為．
試題解析：(Ⅰ)因為橢圓經(jīng)過點，，因為，解得，
所以橢圓的方程為．
(Ⅱ)①若過點的直線的斜率不存在，此時兩點中有一個點與點重合，不滿足題目條件．
所以直線的斜率存在，設(shè)其斜率為，則的方程為，把代入橢圓方程得，設(shè)，則，，，
因為，所以
，
②由①知：，如果為等腰直角三角形，設(shè)的中點為，則，且，
若，則，顯然滿足，此時直線的方程為；
若，則，解得，所以直線的方程為，即或．
綜上所述：直線的方程為或或．
考點：1、求橢圓方程，2、直線與二次曲線的位置關(guān)系．