Question

如圖，在長方體ABCD—A₁B₁C₁D₁中，AB＝2，BB₁＝BC＝1，E為D₁C₁的中點，連結ED，EC，EB和DB．

(1)求證：ED⊥平面EBC；
(2)求三棱錐E－DBC的體積.

Answer 1

(1)見解析；（2）

解析試題分析：
(1)易得△DD₁E為等腰直角三角形DE⊥EC，BC⊥平面 BC⊥DE，所以DE⊥平面EBC平面DEB⊥平面EBC．
（2）需要做輔助線，取CD中點M，連接EM∥，DCB （這個證明很關鍵），然后根據公式.
試題解析：
(1)在長方體ABCD－A₁B₁C₁D₁中，AB＝2，BB₁＝BC＝1，E為D₁C₁的中點．
∴△DD₁E為等腰直角三角形，∠D₁ED＝45°．同理∠C₁EC＝45°．
∴，即DE⊥EC．
在長方體ABCD－中，BC⊥平面，又DE平面，
∴BC⊥DE．又，
∴DE⊥平面EBC．又
∴平面DEB⊥平面EBC．

（2）取CD中點M，連接EM，
E為D₁C₁的中點，
∥，且,
又DCB

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考點：線面垂直，三棱錐的體積.