Question

【題目】已知點，橢圓的離心率為，是橢圓的右焦點，直線的斜率為，為坐標原點.

（1）求的方程；

（2）設過點的動直線與相交于兩點，問：是否存在直線，使以為直徑的圓經過原點，若存在，求出對應直線的方程，若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）或.

【解析】試題分析：（1）設出，由直線的斜率為求得，結合離心率求得，再由隱含條件求得，則橢圓方程可求；（2）當軸時，不合題意；當直線斜率存在時，設直線：代入橢圓方程化簡，由判別式大于求得的范圍，若存在以為直徑的圓經過點原點，求出，即，得到，符合，進一步求出值，則直線方程可求得.

試題解析：(1)設，由條件知， ，得.

又，所以，

.

故的方程為.

(2)當垂直于軸時不合題意，故設，.

將代入，得．

當，即時，

，，

所以．

若存在以為直徑的圓經過點原點，則，

即，即，

所以，符合，所以存在，符合題意，

此時或.