Question

【題目】已知直線（）.

（1）證明：直線過定點；

（2）若直線不經過第四象限，求的取值范圍；

（3）若直線軸負半軸于，交軸正半軸于，△的面積為（為坐標原點），求的最小值，并求此時直線的方程.

Answer 1

【答案】（1）無論k取何值，直線過定點(－2，1)；（2）；（3）△AOB的面積的最小值為4，此時直線l的方程為x－y＋1＋1＝0.

【解析】【試題分析】（1）將直線方程變形為含參數的項與 不含參數的項，借助條件建立方程組，即可求出定點坐標；（2）借助（1）的結論，并數形結合建立關于的不等式組求解；（3）先求出兩點的坐標，再建立△的面積關于斜率的函數，運用基本不等式求最小值，并借助函數取得最小值時的條件求出直線的方程：

(1)證明：由已知得: k(x＋2)＋(1－y)＝0，

令 x＋2=0 且 1－y=0，得: x=-2， y=1

∴無論k取何值，直線過定點(－2，1)

（2）直線方程可化為，

當時，要使直線不經過第四象限，則，解得；

當時，直線為，符合題意.

綜上：的取值范圍是。

（3）令y＝0得：A點坐標為,令x＝0得：B點坐標為(0，2k＋1)(k>0)，

∴S△AOB＝|2k＋1|＝(2k＋1)＝≥(4＋4)＝4

當且僅當4k＝，即k＝時取等號．

即△AOB的面積的最小值為4，此時直線l的方程為x－y＋1＋1＝0，

即 x－2y＋4＝0.