Question

已知雙曲線C的方程為（a＞0，b＞0），離心率e=，頂點(diǎn)到漸近線的距離為。

（1）求雙曲線C的方程；
（2）如圖，P是雙曲線C上一點(diǎn)，A，B兩點(diǎn)在雙曲線C的兩條漸近線上，且分別位于第一、二象限，若，求△AOB面積的取值范圍。

Answer 1

解：（1）由題意知，雙曲線C的頂點(diǎn)（0，a）到漸近線的距離為，
∴即
由得
∴雙曲線C的方程為。
（2）由（1）知雙曲線C的兩條漸近線方程為
設(shè)
由得P點(diǎn)的坐標(biāo)為
將P點(diǎn)的坐標(biāo)代入，化簡得,
設(shè)，
∵
∴
又
∴
記
則
由得
又S（1）=2，
∴當(dāng)時，△AOB的面積取得最小值2，
當(dāng)時，△AOB的面積取得最大值
∴△AOB面積的取值范圍是。