Question

已知雙曲線C的方程為

y2

a2

-

x2

b2

=1（a＞0，b＞0），離心率e=

5

2

，頂點到漸近線的距離為

2 5

5

．求雙曲線C的方程．

Answer 1

分析：依題意可得到e²=

a2+b2

a2

=

5

4

，頂點到漸近線的距離d=

ab

c

=

2 5

5

，解方程組即可求得答案．

解答：解：∵雙曲線C：

y2

a2

-

x2

b2

=1（a＞0，b＞0）的離心率e=

c

a

=

5

2

，
∴e²=

a2+b2

a2

=

5

4

，
∴a²=4b²；①
設頂點P（0，a）到漸近線ax-by=0的距離為d
則d=

ab

c

=

2 5

5

，
∴

a2b2

a2+b2

=

4

5

，②
由①②聯(lián)立得：a²=4，b²=1．
∴雙曲線C的方程為：

y2

4

-x²=1．

點評：本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)與標準方程，考查方程思想與運算能力，屬于中檔題．