Question

【題目】已知，，動點滿足.設動點的軌跡為.

（1）求動點的軌跡方程，并說明軌跡是什么圖形；

（2）求動點與定點連線的斜率的最小值；

（3）設直線交軌跡于兩點，是否存在以線段為直徑的圓經過？若存在，求出實數的值；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）動點M的軌跡方程為，軌跡是以為圓心，2為半徑的圓；

（2）；（3）存在，.

【解析】

（1）由，化簡可得：，即軌跡是以為圓心，2為半經的圓；(2)設過點的直線為，利用圓心到直線的距離不大于半徑即可解得的取值范圍，從而得出動點與定點連線的斜率的最小值；（3）假設存在以線段為直徑的圓經過，聯立方程，得，再利用，求出的的值，驗證是否成立即可.

（1），化簡可得：，

所以動點M的軌跡方程為.

軌跡是以為圓心，2為半徑的圓.

（2）設過點的直線為，圓心到直線的距離為.

∴，即.

（3）假設存在，聯立方程得，得，

即.

設，則，，

由題意知，

∴.

∴，得，且滿足，

∴存在以線段PQ為直徑的圓經過A，此時.