Question

【題目】已知橢圓的離心率，左頂點為.

（1）求橢圓的方程；

（2）已知為坐標原點， 是橢圓上的兩點，連接的直線平行交軸于點，證明： 成等比數(shù)列.

Answer 1

【答案】（1）；（2）詳見解析.

【解析】【試題分析】（1）依據(jù)題設(shè)條件建立方程進行求解；（2）借助題設(shè)條件建立直線的方程，再與橢圓方程聯(lián)立，運用坐標之間的關(guān)系分析推證：

（Ⅰ）由， 得，

故橢圓的方程為.

（Ⅱ）設(shè)， ， ，則，

將代入，整理得
，
，得，
，

，

．
將代入，整理得 ，
得， ．
故，
所以， 成等比數(shù)列．

【試題分析】橢圓是圓錐曲線的代表之一，也是中學(xué)數(shù)學(xué)中的重要知識點和考點。求解本題的第一問時，直接依據(jù)題設(shè)建立方程組進行求解，從而使得問題獲解；解答第二問時，先建立直線的方程，后借助交點的坐標之間的關(guān)系及兩點間距離公式分析推證，進而使得問題獲證。