Question

“若函數f（x）在區間（-1，0）和（0，1）上都單調遞增，則函數f（x）在區間（-1，1）上單調遞增”的一個反例是（　　）

• A．f（x）=x²
• B．f（x）=-x²
• C．f(x)=

  x+1 0 (x＜0) (x=0) x-1 (x＞0)

• D．f(x)=

  x-1 0 (x＜0) (x=0) x+1 (x＞0)

Answer 1

分析：分別判斷每個選項中所給函數圖象，A，B選項中的函數都是二次函數，圖象都是以y軸為對稱軸的拋物線，所以在y軸兩側的單調性相反，所以不可能在區間（-1，0）和（0，1）上都單調遞增，排除A，B選項，C，D選項都是分段函數，畫出圖象，根據圖象即可判斷．

解答：解：A選項中函數f（x）=x²圖象是開口向上，對稱軸為y軸，頂點在原點的拋物線，
當x∈（-1，0）時為減函數，當x∈（0，1）時為增函數，不符合條件．
B選項中函數f（x）=-x²圖象是開口向下，對稱軸為y軸，頂點在原點的拋物線，
當x∈（-1，0）時為增函數，當x∈（0，1）時為減函數，不符合條件．
C選項中函數是分段函數，圖象如圖所示，
由圖可知，當x∈（-1，0）時為增函數，當x∈（0，1）時為增函數，
但當x∈（-1，1）時既不是增函數，也不是減函數，符合條件．
D選項中函數也是分段函數，圖象如圖（2）所示，
當x∈（-1，0）時為增函數，當x∈（0，1）時為增函數，且當x∈（-1，1）時也為增函數所以D選項不符合條件．
故選C

點評：本題主要考查應用函數單調性的定義判斷函數的單調性，必須滿足對定義域上的任意一個x的值都必須滿足單調性的定義．